Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 3 - Límites y continuidad

Anterior Siguiente
2. Calcular los siguientes límites. En cada caso, analizar si la función correspondiente posee asíntotas horizontales.
c) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2 x+3}$

Respuesta

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", como hacíamos en sucesiones, arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz:

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2 x+3} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}}{2 x+3}$

Distribuimos la raíz, atenti que nos queda $|x|$

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{|x| \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2 x+3}$ 

Como $x$ está tendiendo a $+\infty$ es recontra positivo, así que $|x| = x$

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2 x+3}$

Sacamos factor común $x$ en el denominador:

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x(2+\frac{3}{x})}$

Simplificamos y tomamos límite:

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2+\frac{3}{x}} = \frac{1}{2}$

Por lo tanto, esta función tiene una asíntota horizontal en $y = \frac{1}{2}$ en $+\infty$
Reportar problema
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante
🤖
¡Hola! Soy ExaBoti

Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión

Iniciar Sesión Registrarse
ExaComunidad
Conecta con otros estudiantes y profesores
Avatar Danilo 29 de abril 08:34
Hola profe, como estas? tengo una duda, para resolver este ejercicio yo crei que tenia que multiplicar y dividir por el conjugado, pero al final es con factor comun, mi pregunta es cuando tengo que multiplicar y dividir por el conjugado? supongo que es cuando tenes un termino con raiz y otro sin raiz, pero pregunto para estar seguro
Avatar Flor Profesor 29 de abril 10:53
@Danilo Hola Danilo! Elegir qué herramienta usar para salvar una indeterminación es de lo más difícil y te vas dando cuenta con la práctica... Como bien vos dijiste, un tip que te puede ayudar a ver que multiplicar y dividir por el conjugado puede servir es la presencia de una raíz cuadrada 😉 

Ahora ojo, porque en este caso sólo tenés el término de la raíz cuadrada, y para poder multiplicar y dividir por el conjugado necesitás tener otro término más. Mirá, te lo bajo a tierra: Si vos tuvieras por ejemplo

$\sqrt{x^2 + 1} + 2$ ahí el conjugado sería $\sqrt{x^2 + 1}  - 2$ 

Acá vos tenés únicamente el término de la raíz (ojo que el conjugado no es cambiarle el signo a lo de adentro de la raiz, porque me parece que viene por ahí tu duda) Por eso es que lo que termina ayudando acá es sacar factor común "el que manda" adentro de la raíz. 
Avatar Flor Profesor 29 de abril 10:54
@Danilo Avisame si ahora quedó más claro y sino lo seguimos charlando! :)
¡Uníte a la ExaComunidad! 💬

Conéctate con otros estudiantes y profesores

Iniciar Sesión Registrarse